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Sunday, September 10, 2017

Natural chaos

Patterns composed of ever-smaller branches are very common in nature; some examples are (clockwise from top left): plants, rivers, pulmonary bronchi and blood vessels.
(Credits: Catherine Macbride; Jassen Todorov; Guzel Studio; Inozemtsev Konstantin.)

IN SOME WAY, the movement of the celestial bodies across the sky resembles that of a colossal clockwork device. Stars and planets follow orbits which are neatly described by mathematical equations, such that by knowing their position at a given point in time, we can foretell their positions at any future time. This is the basis of our ability to predict lunar phases, solar and lunar eclipses, meteor showers and other astronomical phenomena. It is perhaps unsurprising that, until quite recently, science believed the whole universe to operate in such a way, following predictable, ‘clockwork’ processes. Such a view is termed ‘determinism’ since, according to it, the future is completely predetermined by mathematical equations, such that no randomness or unpredictability would be left, were we able to work out those equations. This was perfectly put by the prominent eighteenth-century mathematician Pierre-Simon Laplace, who wrote:

An intellect which, at a certain moment, would know all forces that set nature in motion, and all positions of all items of which nature is composed, if this intellect were also vast enough to submit these data to analysis, it would embrace in a single formula the movements of the greatest bodies of the universe and those of the tiniest atom; for such an intellect, nothing would be uncertain, and the future, just like the past, would be present before its eyes.

However elegant this might sound, over the second half of the last century it became increasingly clear to scientific minds that the universe is very little like this. Various natural processes, even though they could be perfectly described using mathematics, were found to display a behaviour that was, on all accounts, impossible to forecast. In time, these and other baffling discoveries led us to realise that unpredictability is an intrinsic property of the universe; not only this, but it is this very property that grants inanimate matter the dazzling ability to spontaneously organise itself into the complex shapes and structures of the natural world. The uncanny force responsible for the unpredictability of the world received what is, in fact, a very popular name — chaos.

Although the term ‘chaos’ commonly serves as synonym for disorder or mayhem, its mathematical meaning is more specific. In a system that can be completely described by deterministic mathematical equations, without any unknown or random component, chaos is the property that makes this system capable of behaving unpredictably. In order words, even if we know the state of the system at a given moment, and the equations that describe the system’s evolution, it is impossible for us to predict its future behaviour.

One of the first to describe a system with chaotic behaviour was the meteorologist Edward Lorenz, who in the early 1960s was trying to model the weather using mathematics. The dominant view at the time was that the weather was a deterministic phenomenon, and thus could be forecasted using equations. But once Lorenz had written down a set of equations that captured the dynamics of air masses, he found that these did not yield any useful predictions. Actually, his system appeared to suffer from extreme sensitivity to even the slightest change in its starting conditions; these variations, initially tiny, rapidly amplified across the system as this evolved, causing it to deviate from its predicted course, and thus leading to completely unexpected outcomes.

Lorenz presented his findings in a talk which he titled: ‘Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?’. This concept would rapidly capture the public’s imagination, giving birth to the popular expression ‘the butterfly effect’. What Lorenz’s results imply is that, even if we should, in theory, be able to forecast the weather by measuring a set of variables (such as atmospheric pressure, temperature, humidity, wind speed, etc.) and solving some equations that describe the evolution of atmospheric conditions, these equations are so sensitive to even infinitesimal changes in their initial values, that we cannot possibly measure the variables we need with such accuracy as to be able to reliably predict the weather beyond a couple of days from now. It turns out that the butterfly effect, that is, a high sensitivity to the initial conditions, is actually a hallmark of chaotic systems.

The butterfly effect is easier to understand thanks to a simpler phenomenon than the weather. In the 1970s, biologist Robert May was working on an equation to model the changes in animal populations over generations. This is known today as the logistic equation, and is indeed very simple. Given a value, Current Size, that represents the current size of a population in relation to its maximum possible size (for example, a value of 0.5 means that the population has half the maximum size), using the logistic equation, we can easily find out the size of the population in its next generation, Future Size:

Future Size = 3.7 × Current Size × (1 – Current Size).

The 3.7 value in the equation above is arbitrary, and as suitable as almost any other value between 3.6 and 4. Given this equation, if the current population size, Current Size, were, for instance, 0.27 (27% of the maximum size), then the size in the next generation would be:

Future Size = 3.7 × 0.27 × (1 – 0.27) = 3.7 × 0.27 × 0.73 ≈ 0.729.

The logistic equation is as simple as it looks, and yet it has a property which is shared between all chaotic systems: feedback. In other words, the equation’s result — in this case, 0.729 — is fed back into the equation, since this value will be the new Current Size when we try to determine the population size in the following generation (the next Future Size). Because the population size in each generation depends on the size in the previous generation, it is easy to see how even the smallest variation in our initial value will grow larger as we solve the equation for more and more generations. If the initial value of the system is a real amount that we need to measure, this implies that we can never measure it accurately enough as to be able to predict its future values indefinitely. But the more precision we achieve in our measurements, the longer we will reliably predict the system’s behaviour.

To show the logistic equation’s chaotic behaviour, let us use again the value 0.27 as our initial value for Current Size. We can use this value to calculate Future Size, which will then become the new Current Size, and repeat this process for many generations, making use of the logistic equation each time. Now, imagine that we did not measure the initial population size with absolute accuracy, and that the actual initial size was not 0.27, but 0.270001 (this represents a change of just 0.00037% in the initial value). In this case, it turns out that with our ‘inaccurate’ initial value of 0.27, we will only be able to predict the future population size for twenty-three generations, and no further. Beyond the twenty-third generation, the system will no longer abide by our predictions, and so we say that it behaves chaotically after this point.

Graph representing the evolution of the size of a population, as described by the logistic equation, for 50 generations and initial values of 0.27 (upper, in blue) and 0.270001 (lower, in red). The system follows the same evolution for the first 23 generations; after this point (discontinuous line), the system displays a different behaviour in each case. Therefore, with an initial value of 0.27 it is impossible to predict the system if the true initial value is not exactly 0.27. This is known as chaotic behaviour.

Chaos is not a rare phenomenon at all; it actually crops up everywhere, from climate to living systems to the stock market. The world is inevitably shrouded in unpredictability; on the other hand, the fact that chaos is so embedded in the fabric of the universe is what makes nature capable of spawning the amazing designs we see around us, from the shapes of clouds to the structure of our circulatory system. For, as a visionary mathematician named Benoît Mandelbrot discovered in the seventies, chaos is at the heart of a special kind of geometry that can be used to describe the rough and irregular shapes of nature. Mandelbrot realised that Euclidean geometry, which is concerned with perfect shapes, such as lines, triangles and spheres, is not able to explain the physical world around us; for neither are the mountains triangles, nor are the clouds spheres. Nature seems to have a preference for characteristically rough, ‘imperfect’ structures, and before Mandelbrot, no one knew how to measure and describe that roughness. Mandelbrot’s new geometry, fractal geometry, was one of the greatest mathematical revolutions of the twentieth century. Mandelbrot realised that there is a property common to almost all the shapes of nature, something called self-similarity. This can be described as the property by which an object is composed of parts that look themselves like small versions of the whole object. The closer we look at mountains, trees, clouds and sea waves, the more detail we see, and this new detail always repeats a similar geometric pattern. A tree branch resembles a small tree, just as a rock resembles a small mountain, depending only on how closely we observe them. Amazingly, the pattern of progressively smaller branches adopted by plants is also found in the structure of our blood vessels, our nerves and our lungs — just to mention some.

Mandelbrot discovered that this kind of irregular, self-similar forms, which he christened fractals, are described by simple mathematical equations that have the property of feedback, just like May’s logistic equation and Lorenz’s atmospheric model. This sparked an incredible breakthrough: the realisation that chaos is the force behind nature’s amazing ability to self-organise into the multitude of complicated structures and patterns we see in the world. Chaos is the property that empowers simple mathematical rules to spontaneously give rise to unimaginably complex systems. Our intuition of complexity as something that cannot suddenly arise from something much simpler, but that necessarily implies a process of complex, even conscious, design, needs to be reappraised. For nature is, at the same time, marvellously complicated and marvellously simple.

The Secret Life of Chaos. BBC (2010).
Butterflies, Chaos and Fractals. Lecture by Prof. Raymond Flood, Gresham College (2013).
Benoît Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature (Henry Holt & Co., 1982).

Caos natural

Los patrones compuestos de ramificaciones cada vez más pequeñas son muy comunes en la naturaleza; algunos ejemplos son (en sentido de las agujas del reloj, desde la esquina superior izquierda): plantas, ríos, bronquios pulmonares y vasos sanguíneos.
(Imágenes: Catherine Macbride; Jassen Todorov; Guzel Studio; Inozemtsev Konstantin.)

EN CIERTO MODO, el movimiento de los cuerpos celestiales se asemeja al de un colosal dispositivo mecánico. Las estrellas y planetas siguen órbitas que pueden ser descritas de forma precisa por ecuaciones matemáticas, de modo que, conociendo sus posiciones en un instante dado, podemos vaticinar sus posiciones en cualquier momento futuro. Ésta es la base de nuestra capacidad para predecir fases lunares, eclipses de sol y de luna, lluvias de estrellas y otros fenómenos astronómicos. Quizá no deba sorprendernos el que, hasta hace bastante poco, la ciencia interpretara el universo entero de esta forma, como una gran máquina regida por procesos ‘mecánicos’, predecibles. Esta postura se conoce como ‘determinismo’, ya que, según ella, el futuro está absolutamente predeterminado por ecuaciones matemáticas, tal que nada permanecería aleatorio o impredecible si pudiéramos descifrar estas ecuaciones. Tal pensamiento quedó perfectamente expresado en palabras del prominente matemático del siglo XVIII Pierre-Simon Laplace, quien escribió:

Un intelecto el cual, en un cierto momento, conociera todas las fuerzas que dan movimiento a la naturaleza, y todas las posiciones de todos los elementos de los que la naturaleza está compuesta, si este intelecto fuera también lo suficientemente vasto como para someter estos datos a análisis, abarcaría en una sola fórmula los movimientos de los mayores cuerpos del universo y los del átomo más pequeño; para tal intelecto, nada sería incierto, y el futuro, tal como el pasado, estaría presente ante sus ojos.

Por muy elegante que esto pueda sonar, a lo largo de la segunda mitad del siglo pasado la comunidad científica vio cada vez con mayor claridad que el universo no se comporta de este modo. Varios procesos naturales fueron descubiertos, los cuales, pese a que podían ser perfectamente descritos matemáticamente, mostraban un comportamiento que era, a todas luces, imposible de pronosticar. Durante las décadas siguientes, estos y otros desconcertantes descubrimientos nos llevaron a comprender que la imprevisibilidad es una propiedad intrínseca del universo; no sólo esto, sino que es precisamente esta propiedad la que dota a la materia inanimada de la habilidad de autoorganizarse en las complejas formas y estructuras de la naturaleza. La inexplicable fuerza responsable de la imprevisibilidad del mundo recibió el que es, de hecho, un nombre muy popular: caos.

Aunque el término ‘caos’ es comúnmente un sinónimo de desorden o vorágine, su significado matemático es más concreto. En un sistema completamente descrito por ecuaciones matemáticas determinísticas, sin ningún componente desconocido o aleatorio, el caos es la propiedad que dota a este sistema de la capacidad de comportarse impredeciblemente. En otras palabras, incluso si conocemos perfectamente el estado del sistema en un momento dado, así como las ecuaciones que describen la evolución del sistema, es imposible predecir el comportamiento futuro del mismo.

Uno de los primeros en describir un sistema con comportamiento caótico fue el meteorólogo Edward Lorenz, quien a principios de los sesenta estaba intentando modelar el tiempo atmosférico mediante matemáticas. El pensamiento dominante de la época era que el tiempo era un fenómeno determinístico y, por tanto, podía ser pronosticado mediante ecuaciones. Pero una vez que Lorenz hubo escrito un conjunto de ecuaciones que describía la dinámica de masas de aire, se encontró con que éste no conducía a predicción útil alguna. Lo que su sistema parecía sufrir, en cambio, era una sensibilidad extrema a la más ligera variación en sus condiciones de inicio; estos cambios, aunque al principio fueran minúsculos, eran rápidamente amplificados a lo largo del sistema conforme éste evolucionaba, haciéndolo desviarse de su curso predicho, y llevando a resultados absolutamente inesperados.

Lorenz presentó sus hallazgos en una charla titulada: ‘¿Desencadena el aleteo de una mariposa en Brasil un tornado en Texas?’. Este concepto pronto capturó la imaginación popular, dando origen a la célebre expresión ‘el efecto mariposa’. Lo que los resultados de Lorenz implican es que, incluso si deberíamos, en teoría, poder predecir el tiempo midiendo una serie de variables (tales como presión atmosférica, temperatura, humedad, velocidad del viento, etc.) y resolviendo las ecuaciones que describen la evolución de las condiciones atmosféricas, la realidad es que estas ecuaciones son tan sensibles a cambios infinitesimales en sus valores iniciales, que nunca seremos capaces de medir las variables que necesitamos con suficiente precisión como para predecir el tiempo de forma fiable por más de unos días. Resulta que el efecto mariposa, es decir, la alta sensibilidad a las condiciones de inicio, es una marca distintiva de los sistemas caóticos.

El efecto mariposa es más fácil de entender gracias a un fenómeno más sencillo que el tiempo atmosférico. En los años setenta, el biólogo Robert May estaba trabajando en una ecuación para modelar los cambios en poblaciones de animales a lo largo de las generaciones. Esta ecuación se conoce hoy como la ecuación logística, y es verdaderamente simple. Dado un valor, Tamaño Actual, el cual representa el tamaño actual de una población en relación a su tamaño máximo posible (por ejemplo, un valor de 0,5 significa que la población tiene la mitad del tamaño máximo), usando la ecuación logística, podemos averiguar fácilmente el tamaño que tendrá la población en la siguiente generación, al que llamaremos Tamaño Futuro:

Tamaño Futuro = 3,7 × Tamaño Actual × (1 – Tamaño Actual).

El valor 3,7 en esta ecuación es arbitrario, y tan adecuado para nuestros propósitos como casi cualquier otro valor entre 3,6 y 4. Dada esta ecuación, si el tamaño actual de la población, Tamaño Actual, fuera, por ejemplo, 0,27 (el 27% del tamaño máximo), entonces el tamaño en la próxima generación sería:

Tamaño Futuro = 3,7 × 0,27 × (1 – 0,27) = 3,7 × 0,27 × 0,73 ≈ 0,729.

La ecuación logística es tan simple como parece, y aun así posee una propiedad que comparten todos los sistemas caóticos: retroalimentación. En otras palabras, el resultado de la ecuación (en este caso, 0,729) es introducido de nuevo en la ecuación, dado que este valor se convertirá en el nuevo Tamaño Actual cuando intentemos determinar el tamaño de la población en la generación siguiente (el nuevo Tamaño Futuro). Debido a que el tamaño de la población en cada generación depende del tamaño en la generación anterior, es fácil ver que incluso la variación más minúscula en nuestro valor inicial se expandirá a medida que resolvemos la ecuación para más y más generaciones futuras. Si el valor inicial del sistema es una cantidad real que debe ser medida, esto implica que nunca podremos medirla con la suficiente precisión como para poder predecir sus futuros valores indefinidamente. Pero cuanto mayor precisión logremos en nuestras mediciones, por más tiempo podremos predecir fiablemente el comportamiento del sistema.

Con objeto de ilustrar el comportamiento caótico de la ecuación logística, usaremos de nuevo el valor 0,27 como nuestro valor inicial del Tamaño Actual. Podemos usar este valor para calcular el Tamaño Futuro, que se convertirá a continuación en el nuevo Tamaño Actual, y repetir este proceso por muchas generaciones, haciendo uso de la ecuación logística en cada paso. Ahora, imaginemos que no hemos medido el tamaño inicial de la población con precisión absoluta, y que el auténtico tamaño inicial no era 0,27, sino 0,270001 (esto supone un cambio de sólo un 0,00037% en el valor de inicio). En tal caso, resulta que con nuestro ‘impreciso’ valor inicial de 0,27, solamente seremos capaces de predecir el tamaño futuro de la población durante veintitrés generaciones, y no más. Tras la vigesimotercera generación, el sistema no se ceñirá a nuestras predicciones, por lo que decimos que se comporta caóticamente pasado este punto.

Gráfica que representa la evolución del tamaño de una población, descrito por la ecuación logística, durante 50 generaciones, para los valores iniciales 0,27 (superior, en azul) y 0,270001 (inferior, en rojo). El sistema sigue la misma evolución durante las primeras 23 generaciones; pasado este punto (línea discontinua), el sistema muestra comportamientos diferentes en cada caso. Por tanto, con un valor inicial de 0,27 es imposible predecir el sistema si el verdadero valor inicial no es exactamente 0,27, lo que se conoce como comportamiento caótico.

El caos no es en absoluto un fenómeno extraño; en realidad, está presente en todas partes, desde el clima hasta los sistemas vivientes, pasando por el mercado de valores. El mundo está inevitablemente inmerso en la imprevisibilidad; por otra parte, el hecho de que el caos esté tan infiltrado en el tejido del universo es lo que ha hecho a la naturaleza capaz de dar lugar a los asombrosos diseños que vemos a nuestro alrededor, desde la forma de las nubes hasta la estructura de nuestro sistema circulatorio. Pues, tal como un visionario matemático llamado Benoît Mandelbrot descubrió en los setenta, el caos es esencial para un tipo especial de geometría, el cual es capaz de describir las formas rugosas e irregulares de la naturaleza. Mandelbrot era consciente de que la geometría euclídea, que se interesa por las formas perfectas, tales como líneas, triángulos y esferas, no sirve para explicar el mundo físico que nos rodea; pues ni las montañas son triángulos, ni las nubes son esferas. La naturaleza parece tener preferencia por formas característicamente rugosas, ‘imperfectas’, y antes de Mandelbrot, nadie sabía cómo medir y describir tal rugosidad. La nueva geometría de Mandelbrot, la geometría fractal, fue una de las mayores revoluciones matemáticas del siglo XX. Mandelbrot intuyó que existe una propiedad común a casi todas las formas naturales, algo llamado autosemejanza. Ésta se puede describir como la propiedad por la que un objeto se compone de partes que se asemejan a versiones más pequeñas del objeto completo. Cuanto más de cerca observamos las montañas, los árboles, las nubes y las olas del mar, más y más detalle somos capaces de ver, y este nuevo detalle repite siempre un patrón geométrico similar. Una rama de un árbol se asemeja a un árbol pequeño, tal como una roca se asemeja a una montaña pequeña, dependiendo tan sólo de cómo de cerca las observemos. Increíblemente, el patrón de ramificaciones cada vez más pequeñas adoptado por las plantas está también presente en la estructura de nuestros vasos sanguíneos, nuestros nervios y nuestros pulmones, por citar sólo algunos.

Mandelbrot descubrió que este tipo de formas irregulares y autosemejantes, a las cuales denominó fractales, son descritas por sencillas ecuaciones matemáticas que poseen la propiedad de retroalimentación, tal como la ecuación logística de May y el modelo atmosférico de Lorenz. Esto desencadenó un avance prodigioso: el entendimiento de que el caos es la fuerza detrás de la increíble habilidad de la naturaleza para generar la multitud de complicadas estructuras y patrones que encontramos en el mundo. El caos es la propiedad que otorga a las reglas matemáticas más simples el poder para dar lugar, espontáneamente, a sistemas inimaginablemente complejos. Nuestra noción intuitiva de la complejidad como algo que no puede emerger súbitamente a partir de algo mucho más simple, sino que implica necesariamente un proceso de diseño complejo, incluso consciente, necesita ser replanteada. Porque la naturaleza es, al mismo tiempo, maravillosamente complicada y maravillosamente simple.

The Secret Life of Chaos. BBC (2010).
Butterflies, Chaos and Fractals. Ponencia por el Prof. Raymond Flood, Gresham College (2013).
Benoît Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature (Henry Holt & Co., 1982).